稱重原理—力矩平衡和靜不定原理

本文詳細(xì)分析了四支點(diǎn)靜不定稱重系統(tǒng)的工作原理以及角差修正和用于重心測(cè)量的問題，并舉實(shí)例進(jìn)行解讀。

一、引言

本文所討論的問題是重力式衡器稱重遵循的兩個(gè)基本原理：即衡器的靜力平衡條件。物體保持靜平衡的必要且充分條件是：諸作用力平衡∑（靜力）=0 和諸作用力矩平衡∑（靜力矩）=0。

另一個(gè)遵循的原理，即是靜不定原理。一個(gè)有三個(gè)支點(diǎn)的物體，只要重心處于三支點(diǎn)構(gòu)成的三角形內(nèi)，物體始終處于穩(wěn)定的靜力平衡狀態(tài)。并且根據(jù)支點(diǎn)和重心的幾何位置，就可確定三個(gè)支點(diǎn)的受力大小，反之測(cè)得三個(gè)支點(diǎn)受力值，可確定物體的重量和物體重心的位置。從數(shù)學(xué)的角度講，在這種情況，我們可以列出一個(gè)和力與兩個(gè)力矩方程。根據(jù)這三個(gè)方程即可求出三個(gè)未知數(shù)，問題可精確求解。

對(duì)于有四個(gè)支點(diǎn)的物體，在理想的靜平衡狀態(tài)，只有在物體重心所處的三個(gè)支點(diǎn)組成的三角形的這三個(gè)支點(diǎn)才受力，而另一個(gè)支點(diǎn)是不會(huì)受力。然而在實(shí)際情況中，我們使用的器物往往都有四個(gè)支點(diǎn)。例如，將一個(gè)四條腿的凳子放在不平的地面，很可能只有三條腿著地，更甚者也可能只有兩條腿支撐著搖晃的凳子，此時(shí)我們感到

在這兩種情況下，凳子的狀態(tài)并不穩(wěn)定。但更多的情況是四條腿均著地，凳子處于穩(wěn)定狀態(tài)。這與理想狀態(tài)相違背，在理想狀態(tài)無論如何只可能有三支點(diǎn)受力，而現(xiàn)在四個(gè)支點(diǎn)都受力，造成這種情況的原因是由于地面不平所至。四個(gè)支點(diǎn)與地面的著力點(diǎn)不在同一水平面上。對(duì)于三支點(diǎn)的系統(tǒng)雖然著力點(diǎn)也不在同一水平面，但由靜力平衡的條件可能得到一個(gè)和力方程與兩個(gè)力矩平衡方程，由此可求解。而四支點(diǎn)系統(tǒng)也只能得到三個(gè)力學(xué)方程，不能求解。這樣的系統(tǒng)稱為靜不定系統(tǒng) （Statically Undefined Systems）。靜不定問題在力學(xué)教材都有講述。我們常見的四只傳感器組成的衡器均為靜不定系統(tǒng)。是本文討論的主要問題。

二、衡器的靜平衡

基于杠桿原理的桿秤、天秤，是最早使用的衡器，具有支點(diǎn)軸、載荷軸和力軸的簡(jiǎn)單杠桿，是最基本的衡器結(jié)構(gòu)。每個(gè)軸的位置分別被稱為支點(diǎn)、重心和力點(diǎn)。

按照這三個(gè)點(diǎn)的分布，可以把基本杠桿分為三種類型，即第一類杠桿、第二類杠桿和第三類杠桿，如圖 1 所示。F 是支點(diǎn)、A 是重點(diǎn)、B 是支點(diǎn)，這三個(gè)力互相平行，它們作用力在同一直線上。

按照聯(lián)接杠桿的數(shù)量可將杠桿 （系） 分為單一杠桿和復(fù)合杠桿 （系）。單一杠桿是獨(dú)立的，如杠桿的桿和天平的橫梁。而復(fù)合杠桿則是由相關(guān)聯(lián)的杠桿組合而成，機(jī)械式的臺(tái)秤和地秤均屬?gòu)?fù)合杠桿結(jié)構(gòu)。由四支傳感器支承的電子衡器，四個(gè)支點(diǎn)、同時(shí)也是力點(diǎn)。承載器為框架結(jié)構(gòu)的“二維杠桿”組成的復(fù)合杠桿系。

以第一類杠桿為例，分析其靜力平衡和稱重原理。在實(shí)際中，支點(diǎn)、重點(diǎn)和力點(diǎn)不可能在同一水平線上，如圖 2 所示。

物的重量。

下面再討論此類杠桿的“靈敏度”和“穩(wěn)定性”。假設(shè)在重點(diǎn) A 施加一小荷載△W，杠桿將產(chǎn)生一個(gè)小的偏轉(zhuǎn)角△θ，杠桿達(dá)到一個(gè)新的平衡位置，根據(jù)圖 2，此時(shí)杠桿在施加載荷后的力矩平

由此關(guān)系式可以得到以下結(jié)論：

（1） 若 ha≠0 或 hb≠0，S 受 W 或 F 的影響；（2） 若 ha=hb=0，S 不受 W 或 F 的影響；（3） 若 ha=hb=hc，則 S=∞，無窮大；（4） 若上式分母為負(fù)，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。

由于此結(jié)果的影響，在很長(zhǎng)一段時(shí)間，人們認(rèn)為把天平的負(fù)載荷盤置于天平橫梁之上是不可能實(shí)現(xiàn)。直到 1670 羅伯威爾 （Roberval） 首先解決了這個(gè)問題，然而遺憾的是，還繼續(xù)了近兩個(gè)世紀(jì)，他的發(fā)明才獲得應(yīng)用。值得提出的是：羅伯威爾天平的另一個(gè)特點(diǎn)是稱重結(jié)果與砝碼和載荷放置的位置無關(guān)，即被測(cè)物體的重心處于承載器的不同位置其測(cè)量結(jié)果相同。

下面我們從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)，討論三支點(diǎn)衡器，如圖 3 所示，A、B、C 三點(diǎn)放置傳感器，被測(cè)物 W 重心到三邊的距離為 ha、hb 和 hc。Ha、Hb 和 Hc 為三角形的高。根據(jù)力矩平衡條件：

F·aha=W·Ha，F·ahb=W·Hb 和 F·chc=W·Hc

幾何學(xué)證明：

ha  + ha  + ha  =1

Ha Ha Ha

即：Fa+Fb+Fc=W 與和力平衡方程一致。對(duì)于三支點(diǎn)衡器，通過測(cè)量三支點(diǎn)的力值就可得到被測(cè)物的重量的重心位置。反之，由被測(cè)物的幾何位置和重量，通過計(jì)算就可求得三支點(diǎn)的受力大小。

三、靜不定衡器

由四只傳感器支撐的衡器，屬于靜不定系統(tǒng)。如前所述對(duì)于這樣的系統(tǒng)，可得到一個(gè)和力方程與兩個(gè)力矩平衡方程，而有四個(gè)未知數(shù)。因不能通過計(jì)算求出四只傳感器的受力情況，如圖 4 所

示。反之是否測(cè)得四只傳感器的受力大小，就可得到被稱物的重量？

在調(diào)四角偏載時(shí)得到四組數(shù)據(jù)，而且四組測(cè)量結(jié)果都不相同，可用下式表示：

F11+F21+F31+F41=M1

F12+F22+F32+F42=M2

F13+F23+F33+F43=M3

F14+F24+F34+F44=M4

這是與直覺很不一樣的結(jié)果，同一重物由于放置位置不同測(cè)出不同的重量，而用來測(cè)量的四只傳感器事先選用靈敏度相同的，按“道理”，測(cè)量結(jié)果應(yīng)該是相同的。這種矛盾應(yīng)如何解釋？通常我們是通過一些大家認(rèn)同的方法經(jīng)調(diào)節(jié)后使四角偏載稱重結(jié)果相同，卻很少有人去思考矛盾發(fā)生的原因和調(diào)節(jié)方法的依據(jù)。

由此可見，此時(shí)測(cè)得的四個(gè)支點(diǎn)受力之和，

不等于被支撐物的重量。結(jié)果不僅與力矩平衡的受力分配系數(shù)有關(guān)，還與被支撐物的重心位置 X0

和 Y0 有關(guān)。還要特別記住，即使被支撐物的物理和幾何狀態(tài)沒有變化，只要重心位置發(fā)生改變，力矩平衡的受力分配系數(shù)也發(fā)生改變。

根據(jù)上述分析，我們得到一個(gè)重要的結(jié)論，

對(duì)于靜力平衡的第一個(gè)條件，即各作用力之和為零，這只有對(duì)共點(diǎn)力的情況成立，此時(shí)作用力的合力與諸反作用的合力相等。第二種靜力平衡為力矩平衡，此時(shí)作用力與反作用力互為平行力，此時(shí)作用力矩等于反作用力矩。對(duì)于靜不定系統(tǒng)，作用在四支承點(diǎn)力值之和不等于力矩的力值之和，

（7） 式的數(shù)學(xué)表示式就表明此種力學(xué)現(xiàn)象。使這

兩個(gè)力值相等的必要而充分條件為：

K +K +K +K =4 和 （K +K）=（K +K） （8）

1 2 3 4 1 3 2 4

當(dāng)此條件滿足時(shí)，四支點(diǎn)的靜不定衡器，用

來稱重時(shí)，稱重結(jié)果與被稱物放置的位置，即重心所處位置無關(guān)，且四個(gè)支承點(diǎn)的力值之和就等于物體重量。這是對(duì)一臺(tái)合格的衡器的基本要求。所以 （8） 式是我們對(duì)角偏載調(diào)節(jié)的理論根據(jù)。

四、偏載調(diào)節(jié)

一臺(tái)不經(jīng)偏載調(diào)節(jié)合格的秤，是不可能稱為合格的衡器。偏載調(diào)節(jié)有很多方法。下面介紹一種對(duì)四支點(diǎn)衡器的偏載調(diào)節(jié)方法。

眾所周知，使用模擬傳感器的汽車衡，通常是將傳感器并聯(lián)使用，并事先將傳感器的靈敏度配對(duì)，配對(duì)的要求一般選擇四只傳感器靈敏度間偏差在千分之一以內(nèi)，最好將輸出阻抗也選擇一致，輸出零點(diǎn)也在指標(biāo)之內(nèi)。然而，即使這樣，四角偏差通常也超過規(guī)程要求。為了調(diào)節(jié)角差，是通過改變傳感器的供橋電壓或輸出阻抗，改變?cè)瓉淼撵`敏度使角差調(diào)至一致。此時(shí)傳感器的實(shí)際“靈敏度”可能明顯的超過原來配對(duì)的一致性。由于四只傳感器相互并聯(lián)，彼此互為負(fù)載，當(dāng)改變橋壓和輸出阻抗時(shí)，都會(huì)對(duì)其它傳感器的工作狀態(tài)發(fā)生影響，這種角偏調(diào)節(jié)是很麻煩和費(fèi)時(shí)的工作。調(diào)節(jié)的“標(biāo)準(zhǔn)”是試圖將傳感器現(xiàn)實(shí)的輸出調(diào)至相同，或根據(jù)計(jì)算將四只輸出電流調(diào)至一致。

對(duì)數(shù)字傳感器或數(shù)字通道的汽車衡的角差調(diào)節(jié)。使用的方法簡(jiǎn)單、直觀。將四角測(cè)出偏差值，通過軟件手段將其調(diào)為相同。

下面介紹我們的方法，未經(jīng)修正前的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)如表 1 所示。

最終的測(cè)量結(jié)果，是將此時(shí)四只傳感器測(cè)得的力值相加。在此要特別注意：這些力值是力矩平衡的數(shù)值，而不是靜力平衡的數(shù)值。

一臺(tái)合格的衡器要求稱重結(jié)果與被稱物放置的位置，即重心的位置無關(guān)。調(diào)角差的目的就在于此。下面給出了角差測(cè)量值的數(shù)學(xué)表示式：

K11M0+K21M+K31M0+K41M0=M1

K12M0+K22M0+K32M0+K42M0=M2

K13M0+K23M0+K33M0+K43M0=M3

K14M0+K24M0+K34M0+K44M0=M4

我們的角差修正值是根據(jù)上式，用修正前的數(shù)據(jù)解此方程，對(duì)系數(shù) K 修正，結(jié)果如表 2 所示。

表 2

修正后的結(jié)果如表 3 所示，修正前測(cè)量結(jié)果平均值為 87908.3，與均值的最大偏差為 0.3%左

右。修正后測(cè)量結(jié)果的平均值為 87908.5，此時(shí)與平均值的最大偏差小于萬分之一。

無論何種修正，最終還必須經(jīng)實(shí)測(cè)驗(yàn)證。

五、重心測(cè)量

利用稱重方法測(cè)量物體的重心，是一種簡(jiǎn)便、實(shí)用的方法。在上世紀(jì)九十年代我與哈工大的老師研制過一臺(tái)測(cè)量坦克重心的裝置，近些年參與一些重心測(cè)量的項(xiàng)目。本文是在重心測(cè)量工作中涉及的一些問題的啟發(fā)而寫的。

根據(jù)力學(xué)原理，力矩平衡點(diǎn)即是物體的重心點(diǎn)。一個(gè)系統(tǒng)的支點(diǎn)就是系統(tǒng)的重點(diǎn)。系統(tǒng)將保持平衡。對(duì)于靜不定系統(tǒng)的四支點(diǎn)衡器，此時(shí)在 y

方向的力矩平衡方程為：

F1+F3=（1+y/e）M/2 F1+F3=（1+y/e）M/2 和 M=F1+F2+F3+F4

上兩式相減可得到在 y 方向力矩平衡的坐標(biāo)位

置：

y/e=[（F +F）-（F +F）]/（F +F +F +F） （9）

1 3 2 4 1 2 3 4

而根據(jù) （3） 和 （4） 有以下關(guān)系：

此時(shí)由四只傳感器測(cè)得的力值，求得的力矩平衡點(diǎn)不與物體的重心位置相重合。只有在滿足（8） 的條件下，測(cè)得的力矩平衡點(diǎn)才是被測(cè)物的重心。修正前和修正后的數(shù)據(jù)計(jì)算得到的力矩平衡位置和力矩平衡的受力分配系數(shù)，如表 4、表 5

所示。在這里講到計(jì)算 y 軸方向的結(jié)果。

分之一以內(nèi)，可認(rèn)為基本滿足 （8） 的條件，求得的修正后的力矩平衡點(diǎn)的坐標(biāo)值，就是角偏放置砝碼的重心的位置 y0。各象限的砝碼力矩平衡重心坐標(biāo) y0 值，就是按此結(jié)果，根據(jù) （3） 和 （4） 式

求得。結(jié)合第二、第四象限和 X 軸方向的計(jì)算結(jié)果，可幫助更詳細(xì)了解四支點(diǎn)衡器的受力情況。

六、問題與思考

（1） 在測(cè)角偏時(shí)，所測(cè)的四角的數(shù)值各不相同，有時(shí)測(cè)得結(jié)果還會(huì)大于使用砝碼的值。這種矛盾你能解釋嗎？

（2） 有人認(rèn)為：衡器中心位置就一定是測(cè)量最準(zhǔn)確的位置。這種觀點(diǎn)正確嗎？在用比較法檢定砝碼時(shí)，應(yīng)如何評(píng)價(jià)由兩者位置偏離對(duì)誤差的影響？

（3） 傳統(tǒng)調(diào)偏將四角的輸出調(diào)為一致。理論上依據(jù)是什么？如何估計(jì)這種方法的誤差？

（4） 多于四個(gè)支點(diǎn)的衡器應(yīng)如何調(diào)角差？

（5） 是否只用四只傳感器省去承載器可用來稱重或測(cè)量重心？

現(xiàn)實(shí)中由于不能理解四支承衡器靜不定屬性，而產(chǎn)生的誤區(qū)較為常見，往往使得工作事倍功半或造成錯(cuò)誤結(jié)果。

七、結(jié)束語

本文所討論的問題，我在中、外衡器資料中沒有發(fā)現(xiàn)有關(guān)文章。上述的分析和論述是我思考的結(jié)果，供有興趣者討論。